Centre d'un triangle équilatéral circonscrit à une parabole (French)

Un triangle équilatéral circonscrit à une parabole, i.e. dont les côtés (éventuellement prolongés) sont tangents à la parabole, a son centre qui bouge le long d'une droite. Cette droite est la directrice de la parabole. Cette propriété a été posée en exercice à l'oral du concours de l'école Polytechnique en… 1928.

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Une parabole peut être définie comme le lieu des points qui sont à même distance d'un point donné (son foyer) et d'une droite donnée (sa directrice). Une démonstration élégante de cette propriété utiliserait la géométrie projective, qui permettrait entre autres de voir les côtés des triangles circonscrits comme des points d'une autre conique. On peut aussi utiliser Mathematica pour calculer les coordonnées du centre du triangle, ainsi qu'il a été fait pour réaliser cette animation. On prouve au passage que les sommets du triangle se déplacent sur une hyperbole (point bleu sur la courbe rouge).

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